Sifat Kelengkapan Bilangan Real

Sifat Kelengkapan Bilangan Real

Sifat kelengkapan berkaitan dengan konsep supremum dan infimum pada Bilangan R.

Defenisi
Misalkan S adalah sub-himpunan dari R.
a. Bila S terbatas di atas, maka batas atas u dikatakan supremum (batas atas terkecil) dari S bila tidak terdapat batas atas (yang lain) dari S yang kurang dari u.
b. Bila S terbatas di bawah, maka batas bawah w dikatakan infimum (batas
bawah terbesar) dari S bila tidak terdapat batas bawah (yang lain) dari S yang kurang dari w.

Lemma 1
Bilangan real u merupakan supremum dari himpunan tak kosong S di R jika dan hanya jika u memenuhi kedua kondisi berikut:
a.  untuk semua .
b. bila v < u, maka terdapat  sehingga .

Lemma 2
Suatu batas atas u dari himpunan tak kosong S di R merupakan supremum 
dari S jika dan hanya jika untuk setiap  terdapat  sehingga 

Sifat Supremum dari R
Setiap himpunan bilangan real tak kosong yang mempunyai batas atas mempunyai supremum di R.

Sifat Infimum dari R
Setiap himpunan bilangan real tak kosong yang mempunyai batas bawah mempunyai infimum di R.

Latihan
1. Buktikan Lemma 1, Lemma 2, Sifat Supremum dari R, serta Sifat Infimum dari R dengan kalimat Anda sendiri.
2. Misalkan .  Apakah  memiliki batas atas dan batas bawah? Buktikan!
3. Buktikan bahwa jika a batas atas dari himpunan A, dan b batas bawah dari himpunan A, maka
a. Setiap  dengan  merupakan batas atas dari A.
b. Setiap  dengan  merupakan batas bawah dari A.

Share: